در سخنان خیلی از دانشمندان و فیلسوفان به این موضوع راز آمیز اشاره شده است که همه حقیقت جهان را می‌توان در دل یک ذره پیدا کرد. جالب است که نزدیک به این سخن در زبان عرفا و ائمه (ع) هم بیان شده است. برای مثال هاتف اصفهانی در بیت زیر به اصل ذره-عالم اشاره می کند:
چشم دل باز کن که جان بینی/ آن‌چه نادیدنی است آن بینی
دل هر ذره را که بشکافی/آفتابیش در میان بینی
در منطق‌الطیر عطار هم داریم:
اگر یک ذره را دل برشکافی / ببنی تا که اندر وی چه جان است
در چنین بحری که بحر اعظم است / عالمی ذره است و ذره عالم است
هر چند گفتن این سخن در بیان ساده است ولی پذیرش آن به سادگی امکان پذیر نیست و خیلی از افراد پذیرش این اصل را فقط با نگاه شاعرانه و خیالی ممکن می‌دانند. در این مقاله کوتاه ایده جذابی را مطرح خواهیم کرد که می‌تواند دریچه‌‌ای به سوی فهم کامل تر این حقیقت از طریق ریاضیات باز کند. برای فهمیدن این مقاله اطلاع از یک مفهوم ساده ریاضیاتی به نام تابع و تناظر یک به یک دو تابع مختلف لازم است که در ریاضیات مقطع اول و دوم متوسطه مطرح می‌شود. تنها مفهوم ریاضیاتی که در این مقاله آن را شرح می دهیم مفهوم ساده و بسیار جذاب اعداد یا مجموعه‌های ناشمارا است که دانستن آن در استدلال اصلی اهمیت چندانی ندارد ولی با خواندن آن لذت بیشتری خواهید برد. سعی می‌کنیم خیلی ساده این مطلب را توضیح دهیم و در انتها استدلال اصلی را ارائه دهیم.
تعریف اعداد ناشمارا
همه ما با اعداد محدود مثل ۱ ،۳،۲، ۱۰۰، ۸۷۹۴ و … آشنا هستیم ولی در مورد اعداد نامحدود یک تقسیم‌بندی جذاب وجود دارد:
الف- اعداد نامحدودی که قابل شمارش هستند (اعداد شمارا)
وقتی در مورد عدد نامحدودی صحبت می کنیم که قابل شمارش است در واقع در مورد عددی صحبت می کنیم که با مجموعه اعداد طبیعی قابل شمارش هستند و به بیان ریاضی در تناظر یک به یک با اعداد طبیعی قرار دارند. مجموعه اعداد طبیعی همان اعدادی هستند که در روزمره خود برای شمارش اشیاء استفاده می‌کنیم و عبارت هستند از:
{…۱،۲،۳،۴،۵،۶}
برای مثال تعداد اعداد زوج نامحدود است وقابل شمارش است چون ۰ اولین عدد زوج، ۲ دومین عدد زوج، ۴ سومین عدد زوج، ۶ چهارمین عدد زوج، ۸ پنجمین عدد زوج و … است. همانطور که می‌بینید به این ترتیب می توانیم اعداد زوج را بشماریم. مثال دیگر برای اعداد نامحدود شمارا اعداد فرد، مضارب عدد ۳، مضارب عدد ۱۰ و همچنین اعداد گویا است. اعداد گویا (یا همان اعداد کسری) نامحدود یا نامتناهی است ولی شمارا است چون تناظر یک به یک زیر را می‌توانیم بین اعداد گویا و اعداد طبیعی برقرار کنیم.
در این نمودار تمام اعداد گویا در یک ترتیب منظمی آورده شده‌اند و با حرکت روی فلش ها می‌توان تمام آنها را شمرد. فقط کافیست وقتی به کسرهای قابل ساده شدن می‌رسیم، آنها را نشماریم چون حتماً قبلاً آن را شمرده ایم. بنابراین می‌توان گفت که اعداد گویا با اعداد طبیعی در تناظر یک به یک قرار دارند.
ب- اعداد نامحدودی که شمارا نیستند (اعداد ناشمارا)
اعداد نامحدود ناشمارا اعدادی هستند که محدود نیستند ولی نمی‌توان آنها را شمرد. به بیان دیگر نمی‌توان یک تناظر یک به یک بین آن و اعداد طبیعی پیدا کرد. به زبان ریاضی نمی‌تواند هیچ تابع یک‌به‌یکی پیدا کرد که بین آنها و اعداد طبیعی، تناظر یک به یک برقرار کند. تعداد اعداد حقیقی یا همان R از این دسته هستند. اعداد حقیقی در واقع همان اعدادی هستند که بر روی یک خط دلخواه از بی‌نهایت منفی تا بی‌نهایت مثبت قرار دارند.
با توجه به اینکه اعداد حقیقی از اجتماع اعداد گویا و گنگ تشکیل شده‌اند که تعداد هر دو بی نهایت است و اعداد گویا هم در بخش قبلی با اعداد طبیعی در تناظر یک به یک واقع شدند، بنابراین به راحتی ثابت می‌شود که تعداد اعداد حقیقی ناشمارا است.
تناظر یک یک بین R و بازه [۱ و ۱-]
نکته بسیار جذاب این است که هر بازه دلخواه از اعداد حقیقی هر چقدر هم کوچک باشد، با کل اعداد حقیقی در تناظر یک به یک قرار دارد و می‌توان به یک معنا گفت که تعدادشان با هم برابر است. برای مثال تعداد اعداد موجود در بازه [۱ و۱-] که تمام اعداد حقیقی بین دو عدد ۱- و ۱ در بر می‌گیرد با تعداد کل اعداد حقیقی در تناظر یک به یک قرار دارد. برای اثبات این حکم ساده کافیست تابعی پیدا کنیم که یک تناظر یک به یک بین این دو مجموعه ایجاد کند. اگر x متعلق به بازه [۱ و۱-] باشد آنگاه برد تابع زیر از ∞ + تا ∞- یعنی تمام اعداد حقیقی را طی می‌کند و دامنه آن هم [۱ و۱-] در نظر گرفته شده است.
نکته ساده‌ای که قبل از استدلال نهایی باید از خواص مجموعه‌های متناظر بدانید این است که اگر سه مجموعه A و B و C به ترتیب با سه مجموعه E و F و D تناظر یک به یک داشته باشند دو مجموعه A×B×C و E×F×D هم با یکدیگر در تناظر یک به یک قرار دارند. بنابراین ۳[۱ و۱-] و R۳ هم در تناظر یک به یک با همدیگر قرار دارند.
هم‌ارزی یک ذره کوچک و جهان!
حال آماده می‌شویم که به استدلال نهایی خود بپردازیم. یک تیله کره‌ای شکل (به جای یک ذره فرضی در جهان) به شعاع یک را به همراه یک جهان کره‌ای شکل در نظر بگیرید که شعاع آن بی نهایت است. اگر مرکز هر دوی این کره‌ها را در مبدأ دستگاه مختصات فرض کنیم هر نقطه در داخل تیله کوچک ما دقیقاً با یک و فقط یک نقطه در داخل کره بی‌نهایت یا همان جهان متناظر است.
برای اثبات این نکته فرض کنید نقطه (X , Y , Z) یک نقطه دلخواه در داخل کره کوچک باشد. اعداد X , Y , Z در بازه [۱ و۱-] قرار دارند. بنابراین برای هر کدام از این نقاط یک و فقط یک نقطه به نام های X۱, Y۱, Z۱ بر روی محورهای طول، عرض و ارتفاع پیدا می‌شود که با آنها در تناظر یک به یک باشند. بنابراین نقطه (X , Y , Z) با یک و فقط یک نقطه در کره جهانی به نام (X۱, Y۱, Z۱) متناظر خواهد بود. به بیان دیگر طبق اخرین نکته ای که در بخش قبل گفته شد ۳[۱ و۱-] و R۳ در تناظر یک به یک با همدیگر قرار دارند. بنابراین به راحتی توانستیم جهان بی نهایت را با یک تیله بسیار کوچک متناظر کنیم و آنها را همسنگ یکدیگر قرار دهیم!
سخن پایانی
نکته بسیار جالب این است که تیله ما می‌تواند هر چقدر که می‌خواهیم کوچک باشد و تنها شرط این است که شعاع آن صفر نباشد یا در واقع عدم نباشد. برای فهم این حقیقت کافیست توجه کنید که در بخش قبل برای عدد ۱ در بازه [۱ و۱-] اندازه یا واحد خاصی در نظر نگرفتیم و هر چقدر دلمان بخواهد می‌توانیم آن را کوچک در نظر بگیریم. نتیجه جالب دیگر این است که هر جمله یا واقعیتی که درباره نقاط کره بزرگتر بیان شود با جایگذاری نقاط متناظر کره کوچک به جای آنها می‌توان این جمله را به زبان نقاط داخل تیله ترجمه کرد و این می‌تواند به نکته ابتدای مقاله اشاره کند که می‌گوید : تمام اسرار عالم در دل هر ذره‌ای نهفته است.
